排列组合思维导图

U622511243

2023-01-06

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数学

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思维导图大纲

不同元素分组分配

元素互异--排列

完全平均分堆

概念

九个苹果分成三堆

每堆三个

公式

分法/堆数阶乘

完全不平均分堆

概念

九个苹果分成三堆

一堆5个，一堆3个，一堆1个

方法

直接分

局部平均分堆

概念

九个苹果分成三堆

一堆5个，一堆2个，一堆2个

公式

分法/相同堆数阶乘

注：多个相同堆数

6本书分成2个2本、2个1本。

区分

题干

6本不同的书分给甲乙丙三个人

区分三句话和三种情况

分成三组，每组两人

组无属性

直接分配，需要除以堆数的阶乘

分成甲乙丙三组，每组两人

未指定到人，先分堆在分配

先分堆-再分配比如2,4,5

分成三组，甲组两人，乙组两人，丙组两人

指定到人，直接分，如1、3、6问

甲3本、乙1本、丙2本

C63*C31*C22

指名道姓：直接分

一个人3本，一个人1本，一个人2本

C63*C31*C22*A33

未指名道姓：先分堆再分配

甲4本，乙1本，丙1本

C64*C21*C11

一个人4本，一个人1本，一个人1本

[C64*C21*C11]/2 *A33

每人两本

先分堆，再分配

C62*C42*C22)/3! * A33

未指明到人，需要再分配

甲两本，乙两本，丙两本

直接分，无需除以堆数的阶乘

C62*C42*C22

指名到人，无需再分配

例

例1

6本书平均分配4个人，每人至少1本书

1 1 2 2

[(C62C42)/2! * (C21*C11)/2!]*A44

两个相同堆数

3 1 1 1

C63*(C31*C21*C11)/3!] * A44

特点

1、被分配元素彼此互异性

2、被分堆元素个数 > 接纳对象个数

3、每个对象至少接纳一个对象

关键点

每人至少一本

堆/组是否互异或属性

相同元素分组分配

元素相同--组合

相同元素--隔板法

概念

10个相同的小球

放入四个不同盒子中，每个盒子至少放一个球

C 93

Cn-1、m-1

实施步骤

造隔板

每个小球之间隔板

取出隔板备用

共9个隔板

从备用隔板中取一定数量隔板解决

特点

1、被分配元素彼此无差异

2、被分堆元素个数 > 接纳对象个数

3、每个对象至少接纳一个对象

例

x+y+z+p=12，有多少个正整数解

C11 3

数字问题

组数问题

步

方框图

方格

区别密码问题

流程

先高位后低位

先低位后高位

注意

数字是否重复

0 不能开头

是否有特殊需求

全偶数

之和为偶数

能被2或5整除

例

1-5个数字能组成多少个五位数，----5的五次方

投信，有重复，比如55555、11111

1-5个数字能组成多少个不重复的五位数，A55

有0-9 十个数字，从中取四个不同数，能组成多少个偶数

解法详解

个位0，A93

C81*A83 *4

千位不可0

千位(只有一位)剩下8个取1个，C81

个位是2、4、6、8，

已分类-指定个位数，因此无需在考虑

A和C区别

一个位置无需排列

子主题 5

全错位排列问题

概念

轮流对调

识别

每个XX只有一个XX

对应关系

元素个数---方法个数

个例--变化

步

例

区别

有编号1-6的信，有编号1-6个信封

每个信封只装一封信

如无该句话，则用投信原理。

如果存在该句话，表示全错位排列

例子

恰有一封信编号与信封编号一致

C61*44

至少有一封信的编号与信封一致，有多少种

1种

C61*44

2种

C62*9

3种

C63*2

4种

C64*1

5种

最多--最少

类

最多

上限

最少

下限

方法

分类--加

考虑总事件

间接--减

对立面

例

题干

五男三女，从中选三人参加某项活动

至少有一个女生

方法一

1女+2男

2女+1男

3女

方法二

先选三个人，减去一个女生都没有（也就是三个男生C53)

C93 - C52

至多有两人男生

方法一

0男

1男

2男

方法二

至多两个男生==至少有一个女生

与上题思路一致

至多至少

例2

某委员会由三个不同专业的人员构成，三个专业的人数分别为2、3、4，从中选派2位不通过专业的委员外出调研，则不同的选派方法有__种

方法1--正面

选两种专业

C21C31

C31C41

C41C21

方法2-反面

先整体再减去重复

C92

C22+C32+C42

都是同专业的人

例3

在8名志愿者中，只能做英语翻译的有4人，只能做法语翻译的有3人，既能做英语又能做法语翻译的有1人，先从这些志愿者中选三人做翻译工作，确定既有英语又有法语翻译的有几种情况

方法1--正面

从专业角度考虑

1英2法

2英1法

全能有两种方法

方法1

1全能

指定了

C72

剩下从7个人随便选2

方法2

1全2法

1全1英1法

方法2-反面

整体考虑再减去重复

C83

C43+C33

只会其中一种的

配对问题

例题

有[1-10]10个元素，从中任选5个元素构成集合M，且M中任意两个元素不等于11.

可理解为从5对夫妻中选4个人，这4个人彼此不是夫妻。

先从5对家庭中选4对，在从每个家庭中选一个人。

方法

先选家庭，再选元素

多数

先选符合条件在配对

极少

例：男女双打比赛

例

有5对夫妻，从5对夫妻中选4个人，这4个人和任何一个人不是一对夫妻

C54*（C21*C21*C21*C21），第一步先选4个家庭，然后每家选一个人

有五对夫妻参加电视节目，从中选四个人做嘉宾，其中恰有一对夫妻，

C51 * [C42* C21*C21]

先从五个家庭选一对，剩下四个家庭里选两对，再从每家选一个。

有5对夫妻，从5对夫妻中选5个人，这五个人和任何一个人不是一对夫妻

（C21）的5次方，第一步C21，连续5次

问题汇总

综合

例1-指定与分堆分配

将6张不同的卡片,2张一组，分别装入甲乙丙三个袋子中，若指定的两张卡片要放同一组，则不同的装法有 _种

方法1-18种

C31[C42*C22]/2!*A22

C31,从三个袋子中选一个袋子，放指定的两张卡，就不再参与分配

[C42*C22]/2!，剩下4张分堆+分配

方法2-18种

[C42*C22]/2!*A33

指定的两张卡已成为一推，不参与分堆，但要参与分配

剩下4张分堆：[C42*C22]/2!

A33,因指定的两张和剩下的两堆，共同参与分配

例2-先分类再分步，步中再分类

确定两人从A地出发经过BC，沿逆时针方向姓周一圈回到A地的方案。若从A地出发时没人均可选大路或山道。经过B和C时，至多有一人可以更改道路，则不同的方案有__种类

4*3*3=36

从A到B共有两条路，两个人，共计4条路

至多有一个人改道--3种，B到C和C到A同样

两人都不改道

一人或另一个人改道

遇到排列组合先事件化

先分步再分类

先分类在分步

例3-组合C的含义

某商店经营15种商品每次在橱窗内陈列5种，若每次陈列的商品不完全相同，则最多陈列多少种。

每个组合的元素都是不完全相同的，因此最多可陈列C155=3003次

若每两次陈列的商品不完全相同

最多

例4-单循环积分制

在一次足球预选赛中有5个球队进行双循环（每两队之间赛两场）规定胜一场得3分、平一场得1分、负一场得0分，赛完后一个球队的积分不同情况的种数为__种

5个队单循环

按照1-5号标明5个队，那单循环就要比赛10场次，也就是C52。每队要参加4次，也就是5-1(除了自己以外的剩余人都要比赛)。具体场次对为1-2、1-3、1-4、1-5、2-3、2-4、2-5、3-4、3-5、4-5

5个队双循环

每队要参加4*2=8次比赛

限制条件

全负是0，全胜是24，其中23分无组合。24种积分情况

例5-分堆分配的变形

羽毛球队有个4名男运动员和3名女运动员，从中选两对参加混双比赛，则不同的选派方式有__种

先选2男2女，在配对

C42*C32*A22

例6-先配对，再错位排

某单位为检查3个部门的工作，由这3个部门的主任和外聘的3名人员组成检查组，分2人一组检查工作，每组有1名外聘成员，规定本部门主任不能检查本部门，则不同的安排方式有 _种

先配对，再全错位排。A33*2

3名主任与3名外聘人员配对，A33=6种情况

3对在进行全错位排，对应2种情况

例7-数字排列-C含义

用0-5组成没有重复的4位数，其中千位数字大于百位数字且百位数字大于十位数字的四位数的个数是__

用列举法，分类讨论可以得出

按照不同的千位和十位情况进行分类讨论

方法2---C61*C53

先选个位数，C61

再剩下的3位数字，并按照千>百 >十排列

C53

子主题 8

区分例题

三个人去住店，有四个地方可选，有多少种安排方法

投信

不同元素，不同位置，位置上允许为空

安排五个人去四所中学支教，每个中学至少一人，有多少种安排方式

分堆、分配

不同元素，不同位置，位置上至少一个

7个名额给三个班级，每班至少一个名额，有多少种情况

隔板法

相同元素，不同位置，位置上至少一个

三个人去五个地方旅游，其中甲乙不去同一个地方，有多少种情况

投信，特殊

桌子上有10个苹果，放到9个抽屉中，无论怎么放，至少有一个抽屉里不少于2个

抽屉原理

投信问题

步

如何识别底数与指数1

区分受用主体，分步解决

受用主题为底数

例子

4封信投到5个邮筒，每个邮筒所装信的数量不限

5的4次方

筒的信次方

区别

每个邮筒所装数量不限。

投信原理

每个邮筒至少一封信

分堆分配

3个人同学去争夺4个冠军

3的四次方

冠军至少有多少种得法

问的是冠军

如何识别底数与指数2

顺意走、分步走

人报项目，人去地、信去箱、冠军给人

例

三个人去住店，有四个地方可选，有多少种安排方式

理解为

第一个人可以去4个地方

第二个人可以去4个地方

第三个人可以去4个地方

4的3次方--底数为4,指数为3

4封信投到5个邮筒，每个邮筒所装信的数量不限

理解为

第一封信可去投5个信箱

第二封信可去投5个信箱

第三封信可去投5个信箱

第四封信可去投5个信箱

5的4次方--底数为5,指数为4

3个同学去争夺4个冠军，则冠军有多少种得法

理解为

第一个冠军可以给3个人

第二个冠军可以给3个人

第三个冠军可以给3个人

第四个冠军可以给3个人

3的4次方--底数为3,指数为4

当做验证处理，不建议采用

排队问题

相邻

步

捆绑法

先局部

谁相邻谁局部

几个相邻、局部个数？

再整体

把相邻元素捆绑当一个元素，与余下元素当整体。[注：几对相邻？]

例题

三男五女站成一排，男女均相邻，有几种解法。

A33 * A55 *A22

男女各自排列，再男与女相互排列

三个三口之家到电影院看电影，一共几种做法。

每个家庭A33，然后三个家庭A33。共计A33的4次方

不相邻

步

插空法

先局部

谁挡隔板谁局部

不相邻元素的对立是隔板，先排列

不相邻，即隔板形成的有效空挡数

例

3男、4女排成一排，女不相邻

女不相邻，那隔板就是男生，先排列

男排列后，形成的有效空挡数为4，这时候再排不相邻的女，查到空挡里

再整体

隔板形成的有效空档数

难点

隔板是否有序？

有的隔板讲序

隔板形成的有效空档数

例题

四男四女站成一排，男女均不相邻。有几种站法

方法一

A44 * ( A44 + A44 （两种空挡数，靠左或靠右）)

先步，第二步中分类考虑。

方法二

A44*A43*C21

A43表示中间3个空挡数，C21表示或左或右

8把椅子排成一排，3个人随机就做，任何两人不相邻的做法

A43

三个人搬着凳子去五个空位置的4个中间做

3男、4女站一排，男不相邻且首尾不能是男生

A33*A44

首尾的空挡数无效

特殊需求

步

特权优先考虑

分类

元素特殊

先特殊

单个特殊

多个特殊

后剩余

剩下元素排列

位置特殊

注意：是否指定或未指定

那个元素在那个位置！！！

单个位置固定

指定无需再管，直接排除后计算下一步

例，女生甲只能在第三个位置

未指定需要考虑

例，第一个必须是男生（如果三个男生，需要单独C31，因为未指定那个男生）

剩余排列

例

五个大人两个小孩站成一排上山，一头一尾不能是小孩，且小孩不相邻。

方法1，先计算一头一尾A22，在排列剩下三个大人，最后利用插空计算小孩位置。

子主题 3

注：三种情况的区别-例

有4名男生、4名女生在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。

1.第一个必须是男生

C41*A77

选一个男生站第一位，剩下全排列

一个位置无需排列

首尾不能站女生

A42*A66

首尾占位，先从4个男生里选2，排列

某指定的男生只能做第三个位置

A77

指定的元素无需考虑，不是位置指定

非三类

利用两个原理

或者穷举

例

甲乙丙等6人站成一排，乙丙必须在甲的同侧，有几种方法

谁的位置最关键，先处理谁

解法

第一种情况，甲在左边第一，或右边第一

A55

第二种情况，甲在左边第二，或右边第二

A42*A33

右边或左边的四个位置选两个给乙丙

第三种情况，甲在左边第三，或右边第三

A22*A33+A32*A33

左边留给乙丙，或右边留给乙丙

核心

类--加

原理

为了完成一件事，有N类方法

完成这件事方法总和：每类的方法相加

特点

彼此独立

毫无关联

步--乘

原理

为了完成一件事，需分成N步

完成这件事方法总和：每步的方法乘积

特点

彼此协作

缺一不可

排列组合

组合与组合数

组合

从N个元素中人选M个不同元素

只考虑m个元素的种类；而不考虑他们的顺序；

与顺序无关

元素之间关系？

每个组合的元素是不完全相同的

以及每种方法对比

最多种

表示方法

C53=C52

5*4/2*1

C55

CnA=CnB

A=B

A+B=n

排列与排列数

排列

从N个元素中人选M个不同元素

即考虑m个元素的种类；又考虑他们的顺序；

与顺序有关

元素之间互异性

元素的自带属性

除属性外会重复

表示方法

A52

5*4

A55

转化关系

按照"步"原理

1、先从n个不同元素中选m个不同元素

Cnm

C52

2、再把m个元素排序

Amm

A22

Anm

A52

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