首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^p/q=q次根号x的p次方,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/x^k,显然x≠0,函数的定义域是-∞,0∪0,+∞.因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能,即对于x<0和x>0的所有实数,q不能是偶数;
排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
2当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。
3当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。
5a大于0,函数过0,0;a小于0,函数不过0,0点。