高数函数思维导图

祭夏

2022-07-23

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高数函数部分思维导图

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高数函数部分基本介绍

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思维导图大纲

函数

函数的概念

在某一个变化过程中存在两个变量，X和y，存在两个非空集合，一个非空集合的。每一个X值都有，唯一与之对应的y值在另一个集合中可以找到。

说明： X称为自变量，Y称为因变量； X的取值范围称为定义域，用大D表示，Y的取值范围称为函数的值域，通常用R表示，记R={y|y=f(x)|,x∈D}

函数的特性

单调性

在函数f(x)的定义域D中，某一个子区间I中任取两个值。 X1和X2。当x1小于X2时。有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2),则称函数F(x)在区间i上是单调递增的或是单调递减的。

例如函数sin X在。负的二分之派到二分之派上为单调递增函数，在二分之派到3/2派上为单调递减函数。

奇偶性

设函数FX的定义域为D，对于D中的任意点x也有-x，二者在定义域中，若满足f(-x)=f(x)则为偶函数，若f(-x)=-f(x)则为奇函数

例如， Y=X的平方是偶函数，Y=sinX是奇函数， Y=tan X是非奇非偶函数。

周期性

设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意一点xD，f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)在D上为周期函数(periodic function)，T称为f(x)的周期.通常所说的周期是指最小正周期.

如sinx、cosx均为周期函数，它们的最小正周期为2元；tanz、cotx也是周期函数，它们的最小正周期为π

有界性

局部性质，

设函数y=f(x的义域为D，如果存在一个正数M，使得对于D中某一个子区间任意一点x，总有|f(x)|＜M(即-M＜f(x)＜M)，则称函数f(x)在I上是有界的函数(bounded function)，否则是无界的函数(unbounded function).

如sinx、cosx对区间(一00，+)上任意一点x，存在M=1，使得|sinx|＜M，|cosx|＜M，所以它们在区间(一0，+)上都是有界函数.lgx在区间(0，+)上为无界函数，因为找不到那样一个正数M，使|lgx|＜M成立.

一个函数有界还是无界，必须指明所考虑的区间，因为同一个函数在某个区间上可能是有界的，但在另一个区间上却可能是无界的.如f(z)=在开区间(0，1)上是无界函数，但在闭区间[1，2]上却是有界

初等函数

基本初等函数

共有6种，常函数，指数函数，幂函数，对数函数三角函数，反三角函数

复合函数

设函数y=f(u)和f(u)的定义域内，则称 y=f[9(x)termediate variable)u而构成x的中x为自变量，简称函数y=f[q(.x如y=lgu，u=x-1在x>1时u o(x)，且u= (x)的是由这两个函数经过中复合函数（compound fu)]是x的复合函数.

分段函数和反函数。

分段函数

在定义域内不同的区间上,由不同解析式所表示的函数称为分段函数，如符号函数是周期函数1,x>0 1y=sin.x= 0, x=0(-1, x<0是分段函数.分段函数通常不是初等函数，不过，在不同段内的表达式，通常由初等函数表示

反函数

设函数Y=F(x)的定义域D值域为R。对于任意一个y∈D使f(x)=y成立，x和y的对应关系在R上定义了一个新函数称为y=f(x)的反函数

例如y=a"(a＞0，a=1)在定义域(一0，+)上是单调函数，它的值域是(0，+)，所以它的反函数x=logay存在，其定义域是(0，+o)，即y(0，+0)，值域是(一0，+0).一般习惯上自变量用x表示，因变量用y来表示，这时y=f(x)的反函数x=f1(y)就可以写成y=f(x).如函数y=a"的反函数一般不写成x=logay，习惯上写成y=logax.

函数与反函数二者之间的关系：关于y=x这条直线对称。

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