三角形余弦定理公式及证明思维导图

叹黄昏

2023-04-24

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三角形余弦定理公式及证明

三角形余弦定理

公式

证明

余弦定理,描述了三角形中三边长度和一个角的余弦值关系的数学定理。这也是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

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思维导图大纲

什么是三角形余弦定理

三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。

三角形余弦定理的公式

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

a2=b2+c2-bc·cosA

b2=a2+c2-ac·cosB

c2=a2+b2-ab·cosC

也可表示为：

cosC=(a2+b2-c2)/ab

cosB=(a2+c2-b2)/ac

cosA=(c2+b2-a2)/bc

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

三角形余弦定理的证明

平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2__a__b

同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB__c，AD=sinB__c，DC=BC-BD=a-cosB__c

根据勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2

b2=(sinB__c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2

b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2

b2=c2+a2-2accosB

cosB=(c2+a2-b2)/2ac

高中必背的数学公式

(一)两角和公式

1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

3、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

4、ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

(二)倍角公式

1、cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A

2、tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgA

(三)半角公式

1、sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

2、cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

3、tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

4、ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

(四)和差化积

1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2、2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

3、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

4、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

5、ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

(五)几何体表面积和体积公式

1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)

2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)

3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)

4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)

5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)

6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)

7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)

8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)

9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h

(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)

10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)

11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)

12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)

13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)

14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)

15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)

16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)

提高数学成绩高效方法

课后一分钟回忆及时复习

数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。回归课本，先对知识点进行梳理，把教材上的每一个例题、习题再做一遍，确保基本概念、公式等牢固掌握，要扎扎实实，不要盲目攀高，以免欲速则不达。复习课的容量大、内容多、时间紧。

避免"会而不对"的错误习惯

解题时应仔细阅读题目，看清数字，规范解题格式，养成良好解题习惯。部分同学(尤其是脑子比较好的同学)自我感觉很好，平时做题只是写个答案，不注重解题过程，书写不规范。但在正规考试中即使答案对了，由于过程不完整而扣分较多。还有一部分同学平时学习过程中自信心不足，做作业时免不了互相对答案，也不认真找出错误原因并加以改正。这些同学到了考场上常会出现心理性错误，导致会而不对，或是为了保证正确率，反复验算，费时费力，影响整体得分。这些问题很难在短时间得以解决，必须在平时养成良好解题习惯。

重视"一题多解""多题同解"

学好数学要做大量的习题，但做了大量的题，数学都未必好，为何会出现这种反差呢?究其原因，是片面追求做题数量，而没有发挥做题的效果。进入复习阶段后，大量的试题铺天盖地而来，这时我们一定要保持清醒的头脑，要有所为，有所不为。

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