设△ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有a=b·cos C+c·cos B, b=c·cos A+a·cos C, c=a·cos B+b·cos A。
平面向量证法(觉得这个方法不是很好,平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的,怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图,有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c?=a·a+2a·b+b·b∴c?=a?+b?+2|a||b|Cos(π-θ)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c?=a?+b?-2|a||b|Cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)再拆开,得c?=a?+b?-2abcosC即 cosC=(a2+b2-c2)/2__a__b同理可证其他,而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
则有BD=cosB__c,AD=sinB__c,DC=BC-BD=a-cosB__c
根据勾股定理可得:
AC?=AD?+DC?b?=(sinB c)?+(a-cosB c)?b?=(sinB__c)?+a?-2ac cosB+(cosB)?c?b?=(sin?B+cos?B) c?-2ac cosB+a?b?=c?+a?-2ac cosBcosB=(c?+a?-b?)/2ac