高二数学知识点：判断充分与必要条件的方法思维导图

清水入喉

2023-04-20

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高二数学知识点：判断充分与必要条件的方法

高二数

判断充分与必要条件

一、定义法对于?圯,可以简单的记为箭头所指为必要,箭尾所指为充分。

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一、定义法

对于"?圯",可以简单的记为箭头所指为必要,箭尾所指为充分。在解答此类题目时,利用定义直接推导,一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义。

例1已知p:-2

分析条件p确定了m,n的范围,结论q则明确了方程的根的特点,且m,n作为系数,因此理应联想到根与系数的关系,然后再进一步化简。

解设x1,x2是方程x2+mx+n=0的两个小于1的正根,即0

而对于满足条件p的m=-1,n=,方程x2-x+=0并无实根,所以pq。

综上,可知p是q的必要但不充分条件。

点评解决条件判断问题时,务必分清谁是条件,谁是结论,然后既要尝试由条件能否推出结论,也要尝试由结论能否推出条件,这样才能明确做出充分性与必要性的判断。

二、集合法

如果将命题p,q分别看作两个集合A与B,用集合意识解释条件,则有:①若A?哿B,则x∈A是x∈B的充分条件,x∈B是x∈A的必要条件;②若A?芴B,则x∈A是x∈B的充分不必要条件,x∈B是x∈A的必要不充分条件;③若A=B,则x∈A和x∈B互为充要条件;④若A?芫B且A?芸B,则x∈A和x∈B互为既不充分也不必要条件。

例2设x,y∈R,则x2+y2<2是|x|+|y|≤的()条件,是|x|+|y|<2的()条件。

A。充要条件B。既非充分也非必要条件

C。必要不充分条件?摇D。充分不必要条件

解如右图所示,平面区域P={(x,y)|x2+y2<2}表示圆内部分(不含边界);平面区域Q={(x,y)||x|+|y|≤}表示小正方形内部分(含边界);平面区域M={(x,y)||x|+|y|<2}表示大正方形内部分(不含边界)。

由于(,0)?埸P,但(,0)∈Q,则P?芸Q。又P?芫Q,于是x2+y2<2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要条件,故选B。

同理P?芴M,于是x2+y2<2是|x|+|y|<2的充分不必要条件,故选D。

点评由数想形,以形辅数,这种解法正是数形结合思想在解题中的有力体现。数形结合不仅能够拓宽我们的解题思路,而且也能够提高我们的解题能力

三、逆否法

利用互为逆否命题的等价关系,应用"正难则反"的数学思想,将判断"p?圯q"转化为判断"非q?圯非p"的真假。

例3(1)判断p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么条件;

(2)判断p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么条件。

解(1)原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么条件。

显然非p非q,非q非p,故p是q的既不充分也不必要条件。

(2)原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么条件。

因为非p?圯非q,但非q非p,故p是q的必要不充分条件。

点评当命题含有否定词时,可考虑通过逆否命题等价转化判断。

四、筛选法

用特殊值、举反例进行验证,做出判断,从而简化解题过程。这种方法尤其适合于解选择题。

例4方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是()

A。0

解利用特殊值验证:当a=0时,x=-,排除A,D;当a=1时,x=-1,排除B。因此选C。

点评作为选择题,利用筛选法避免了复杂的逻辑推理过程,使解题方法更加优化,节省了时间,提高了解题的速度,因此同学们应该注意解题方法的选择使用。

五、传递法

充分条件与必要条件具有传递性,即由P1?圯P2,P2?圯P3,…,Pn-1?圯Pn,可得P1?圯Pn。同样,充要条件也有传递性。对于比较复杂的具有一定连锁关系的条件,两个条件间关系的判断也可用传递法来加以处理。

例5已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的()

A。充分不必要条件B。必要不充分条件

C。充要条件D。既不充分也不必要条件

解由题意可得p?圯r,r?圯s,s?圯q,那么可得p?圯r?圯s?圯q,即p是q的充分不必要条件,故选A。

点评对于两个以上的较复杂的连锁式条件,利用传递性结合符号"?圯"与"",画出它们之间的关系结构图进行判断,可以直观快捷地处理问题,使问题得以简单化。

1。求三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根的充要条件。

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