高一数学：综述函数的基本知识点思维导图

高一数学：综述函数的基本知识点思维导图，映射、函数、反函数是函数的基本概念，映射是对应关系的特殊形式，而函数又是映射的特殊形式。对于函数的理解，需要注意以下几点：

1.掌握构成函数的三要素，即定义域、值域和对应关系，这样可以判断两个函数是否相同。

2.掌握函数的三种表示方法：列表法、解析法和图象法。能够根据实际问题找到变量间的函数关系式，特别是对于分段函数能够求出他的解析式。

3.当y=f(u)，u=g(x)时，y=f[g(x)]称为f和g的复合函数，其中g(x)是内函数，f(u)是外函数。

求函数的反函数一般有以下几个步骤：

1.确定原函数的值域，也就是反函数的定义域，

2.通过原函数的解析式求出反函数的解析式，

3.互换变量x和y，得到反函数的表达式y=f-1(x)，并说明定义域。

对于分段函数的反函数，先分别求出各段上的反函数，再合并成一个函数。熟练掌握求f-1(x0)的值的应用，可以简化运算，避免求反函数的过程。

函数的解析式与定义域相关，没有定义域的函数是不存在的。正确写出函数的解析式时必须同时考虑变量间的对应关系和函数的定义域。求函数的定义域一般有三种情况：

1.如果函数来自于实际问题，要结合实际意义考虑自变量x的取值范围，

2.已知函数的解析式，只要使解析式有意义即可。比如分式的分母不能为零，偶次方根的开方数不能小于零，对数函数的真数必须大于零，指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1，

3.已知一函数的定义域，求另一个函数的定义域，考虑定义域的含义。

求函数的解析式一般有四种情况：

1.根据实际问题建立函数关系，引入合适的变量并根据数学知识求解函数的解析式，

2.已知函数的特征，采用待定系数法求解函数的解析式，

3.已知复合函数f[g(x)]的表达式，利用换元法求解函数f(x)的表达式，

4.已知f(x)满足某个等式，构造方程组利用解方程组法求解f(x)的表达式。

函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数值域常用的方法有：

1.直接法：对于简单结构的函数，通过观察函数的解析式和应用不等式的性质可以直接得到函数值域，

2.换元法：将复杂函数转化为简单函数在求值域，需要注意根式中是否含有一次式或二次式，

3.反函数法：利用函数与其反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域来得到原函数的值域，

4.配方法：用于二次函数或与二次函数相关的函数的值域问题，

5.不等式法求值域：利用基本不等式进行求值域，注意使用平方技巧，

6.判别式法：将函数变形为关于x的一元二次方程，利用判别式求值域，

7.利用函数的单调性求值域：当函数在定义域上的单调性已知时，可以利用单调性法求出函数的值域，

8.数形结合法求函数的值域：借助于图象和几何方法求出函数的值域。

求函数的最值与值域的方法基本相同，只是问题的角度不同。函数的最值和值域是相关的，在实际问题中常常用最值来衡量某个函数的优劣，最值的应用体现在求解实际问题中，注意实际意义对自变量的制约，以便求得正确的最值。

函数的奇偶性是判断函数性质的重要依据。奇函数和偶函数的定义是对函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立，这两个性质是函数定义域上的整体性质，正确理解奇函数和偶函数的定义很关键。