向量空间思维导图

U330932291

2023-04-05

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向量空间

线性空间

线性代数

向量空间知识梳理

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思维导图大纲

基和维数

基：设{α1、α2、……、αn}是V上的一个基，（i）α1、α2、……、αn线性无关（ii）V中每一个向量都可以由α1、α2、……、αn线性表示

维数：一个向量空间V的基所含的向量的个数，记作dimV

基可以不是唯一的

证明基（满足其中两个条件即可）

α1、α2、……、αn线性无关

V中每一个向量都可以由α1、α2、……、αn线性表示

dimV＝n

W1和W2是向量空间V的有限维子空间，dim(W1∩W2)＝dimW1＋dimW2-dim(W1∩W2)

直和

设W是向量空间V的一个子空间，V的子空间W'叫作W的一个余子空间。如果（i）V＝W＋W'(ii）W∩W'＝{0}则说V是子空间W和W'的直和

dimV＝dimW＋dimW'

定义

加法和数乘封闭

满足八条运算律

唯一性

在V中定义一个加法，V中任意两个向量相加，有V中唯一一个确定的向量与其对应

V中一个向量与标量相乘，也只有一个确定的向量与其对应

一个向量空间中，零向量和每一个向量的负向量都是唯一确定的

子空间

设W是数域F上向量空间V的一个非空子集，如果W对于V的加法以及标量乘法是封闭的，那么W本身也作成F上的一个向量空间。

证明子空间

证W是V的一个子空间，先证W是非空的，再证，任意a,b∈F和任意α，δ∈W，都有aα＋bδ∈W

分类

平凡子空间

向量空间V本身和零空间

非平凡子空间

V的非平凡子空间

坐标

β＝x1α1＋x2α2＋……＋xnαn，对于V中的每一个向量β，有唯一的n元数列（x1、x2、……、xn）与它对应，则n元数列（x1、x2、……、xn）叫做β关于基{α1、α2、……、αn}的坐标。

过渡矩阵

基与基之间的一个可逆线性变换，在一个空间V下可能存在不同的基。

求过渡矩阵

借助标准基

求新坐标

若X是在A基下的坐标，而Y是在B基下的坐标，则X，Y满足X=PY;

同构

设V和W是数域F上的两个向量空间，V到W的一个映射f叫做一个同构映射（i）一一映射（ii）保加法运算（iii）保数乘运算 V≌W

数域F上两个有限维向量空间同构的充要条件是它们有相同的维数

向量的线性相关性

线性表示

给定向量组A:{α1、α2、……、αm}和向量β，如果存在一组数λ1、λ2、……、λm使β=λ1α1+λ2α2+……+λmαm，则向量β是向量组A的线性组合，这时称向量β能由向量组A线性表示

线性相关

有向量组A:{ a1, a2, ···, am}, 如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使 k1 a1+ k2 a2+ ··· + km am= 0 则称向量组A是线性相关的。

任意n+1个n维向量必线性相关. 【个数大于维数必相关】

线性无关

使 k1x1+k2x2+k3x3+........+knxn=0，只有当k1=k2=k3=......=kn=0成立.那么这组向量线性无关。

极大无关组

设{ a1, a2, ···, am},是数域P上线性空间V的一个向量组，如果其部分向量组{a1、 ,az}.线性无关，且每个a;(i--1,2m",m)都可由它线性表出，则称{a1、 ,az}是向量组{ a1, a2, ···, am}的一个极大无关组

定理

等价

两个向量组可以互相线性表出，即是第一个向量组中的每个向量都能表示成第二个向量组的向量的线性组合，且第二个向量组中的每个向量都能表示成第一个向量组的向量的线性组合。

反身性

对称性

传递性

替换定理

在线性空间V中给出两个有限向量组: 1{a1，a2，…，at},; 2{b1，b2:，…，bs}. 若向量组1线性无关，并且向量组1可由向量组2线性表示，则t<=s,而且适当调整{b1，b2:，…，bs.}次序，使得用{a1，a2，…，at}替换{b1，b2:，…，bs}.得的向量组后，所得到的向量与向量组2等价.此即替换定理.