2幂函数具有哪些性质?研究函数应该是哪些方面的内容。前面指数函数、对数函数研究了哪些内容?
3幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样,具有相同的定义域?
(学生小组讨论,得到结论。引导学生举例研究。结论:幂指数 不同,定义域并不完全相同,应区别对待。)教师指出:幂函数y=xn中,当n=0时,其表达式y=x0=1;定义域为(-∞,0)U(0,+∞),特别强调,当x为任何非零实数时,函数的值均为1,图象是从点(0,1)出发,平行于x轴的两条射线,但点(0,1)要除外。)
例2写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性:①y=x ②y= ③y=x ④y=x
(学生解答,并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。引导学生具体问题具体分析,并作简单归纳:分数指数应化成根式,负指数写成正数指数再写出定义域。幂函数的奇偶性也应具体分析。)
4上述函数①y=x ②y= ③y=x ④y=x 的单调性如何?如何判断?
(学生思考,引导作图可得。并加上y=x 和y=x-1图象)接下来, 在同一坐标系中学生作图,教师巡视。将学生作图用实物投影仪演示,指出优点和错误之处。教师利用几何画板演示。见后附图1
让学生观察图象,看单调性、以及还有哪些共同点?(学生思考,回答。教师注意学生叙述的严密性。)
(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1),
(2)如果a>0,则幂函数的图象通过原点,并在区间[0,+∞)上是增函数,
(3)如果a<0,则幂函数在(0,+∞)上是减函数,在第一区间内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地趋近y轴;当x趋向于+∞,图象在x轴上方无限地趋近x轴。
5通过观察例1,在幂函数y=xa中,当a是(1)正偶数、(2)正奇数时,这一类函数有哪种性质?
学生思考,教师讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a是正偶数时,函数都是偶函数,在第一象限内是增函数。(2)在幂函数y=xa中,当a是正奇数时,函数都是奇函数,在第一象限内是增函数。
例3巩固练习 写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性和单调性:①y=x ②y=x ③y=x 。
例4简单应用1:比较下列各组中两个值的大小,并说明理由:
④0.31 ,0.31
例5简单应用2:幂函数y=(m -3m-3)x 在区间 上是减函数,求m的值。
例6简单应用2:
已知(a+1)<(3-2a) ,试求a的取值范围。
1、 幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 2、 常见幂函数的图象和幂函数的性质。