〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣. 二、归纳探索,形成概念 对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1.借助图象,直观感知 问题1:分别作出函数 的图象,并且观察自变量 变化时,函数值有什么变化规律?(学生自己动手画,然后电脑显示下图) 预案:生:函数 在整个定义域内 y随x的增大而增大;函数 在整个定义域内 y随x的增大而减小. 师:函数 的图像变化规律 生:在y轴的的左侧y随x的增大而减小.在y轴的的右侧y随x的增大而增大。 师:我们学过区间的表示方法,如何用区间的概念来表述图像的变化规律 生:在 上 y随x的增大而增大,在 上y随x的增大而减小. 师:这样表述就比较严密了,很好。由上面的讨论可知,函数的单调性与自变量的范围有关,一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数,但在定义城的某个子集上可以是单调函数。 (3)函数 的图像变化规律如何。
生:(1)定义域中的减函数。 (2)在 上 y随x的增大而减小,在 上y随x的增大而减小. 师:对于两种答案,哪一种是正确的,为什么?学生分组讨论。从定义域,图像的角度考虑,也可以举反例 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案:如果函数 在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数 在该区间上为增函数;如果函数 在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数 在该区间上为减函数. 教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述性的认识.
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识. 2.探究规律,理性认识 问题1:下图是函数 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?(电脑显示,学生分组讨论) 学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题2:如何从解析式的角度说明 在 为增函数? 预案: 生: 在给定区间内取两个数,例如1和2,因为12<22,所以 在 为增函数. 生:仅仅两个数的大小关系不能说明函数y=x2在区间[0,+∞)上为单调递增函数,应该举出无数个。 由于很多学生不能分清"无数"和"所有"的区别,所以许多学生对学生2的说法表示赞同。
生:函数 )无数个如(2)中的实数,显然f(x)也随x的增大而增大,是不是也可以说函数 在区间 上是增函数?可这与图象矛盾啊? 师:"无数个"能不能代表"所有"呢?比如:2、3、4、5……有无数个自然数都比 大,那我们能不能说所有的自然数都比 大呢?所以具体值取得再多,也不能代表所有的,思考如何体现区间上的所有值。引导学生利用字母表示数。 生:任取 且 ,因为 ,即 ,所以 在为增函数. 旧教材的定义在这里就可以归纳出来,但是人教B版新教材使用了自变量的增量和函数值的增量来表述,并为以后学习利用导数判断函数的单调性做准备,所以需进一步引导学生利用增量来定义函数的单调性。
(5)仿(4) 且 ,由图象可知,即给自变量一个增量 ,,函数值的增量 所以 在 为增函数。 对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 进一步寻求自变量的增量与函数值的增量之间的变化规律,判断函数单调性。注意这里的"都有"是对应于"任意"的。
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫. 3.抽象思维,形成概念 问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.
(1)板书定义 设函数 的定义域为A,区间M A,如果取区间M中的任意两个值 ,当改变量 时,都有 ,那么就称函数 在区间M上是增函数,如图(1)当改变量 时,都有 ,那么就称函数 在区间M上是减函数,如图(2)
(2)巩固概念(以下问题老师提问后,学生适当讨论后回答) 师:根据函数的单调性的定义思考:由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2), 生:能。因为定义中区间M中的任意两个值 若 , 都有 。 师:我们来比较一下增函数与减函数定义中 的符号规范