高中数学必修5公式思维导图

落花凄凉

2023-04-04

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高中数学必修5公式

数学必修五

高中数学必修5公式思维导图是数学学习中不可或缺的部分，树图网整理了一些高一数学必修五公式，帮助学生更好的掌握数学知识，其中三角函数章节重点包含正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，数列章节包含等差数列和等比数列的通项公式、求和公式和重要性质，不等式章节介绍了解一元二次不等式三部曲：化为标准式、求解零点、分段讨论符号，文中也提到了数列求和和求通项公式的不同方法和技巧，掌握这些知识点，可以更加轻松地学习和应用数学知识。

思维导图大纲

高一数学必修五公式整理

第一章三角函数

abc

2R(R为三角形外接圆半径)一.正弦定理： sinAsinBsinC

a

a2RsinA(sinA)2R

b

推论：a:b:csinA:sinB:sinC 变形：b2RsinB(sinB2R

c

c2RsinC(sinC)2R

b2c2a2

cosA 2bc

二.余弦定理： a2b2c22bccosA

a2c2b2

cosB b2a2c22accosB2ac

a2b2c2c2a2b22abcosC cosC

2ab

三.三角形面积公式：SABC

111

bcsinAacsinBabsinC, 222

第二章数列

一.等差数列： 1.定义：an+1-an=d(常数)

2.通项公式：ana1n1d或anamnmd

3.求和公式:Sn

n1n2

na1

nn1d 2

4.重要性质(1)mn

二.等比数列：1.定义：

pqamanapaq

(2) Sm,S2mSm,S3mS2m仍成等差数列

an1

q(q0) an

n1

nm

2.通项公式：ana1q或anamq3

.求和公式: Snna1( ,q1)

a1(1qn)a1anq

Snq1)

1q1q

4.重要性质(1)m+n=

三.数列求和方法总结：

p+q⇒aman=apaq

(2)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(q≠-1或m为奇数)

1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).

2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.

注意(1):若数列的通项可分成两项之和(或三项之和)则可用(分组求和法)。

(2)若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和,采用(错位相减法). 过程:乘公比再两式错位相减

(3)若数列的通项可拆成两项之差,通过正负相消后剩有限项再求和的方法为(拆项相消法). 常见的拆项公式:

1111

=(-) 3.

(2n-1)(2n+1)22n-12n+1 15.=(n+1-n)

n+n+1

111

=- 1 1 1 1

2.=(- )n(n+1)nn+1n(n+k)knn+k

1111

=[-]

n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)

四.数列求通项公式方法总结:

1.找规律(观察法) 2.为等差等比(公式法) 3.已知Sn,用(Sn法)即用公式an=⎨4. 叠加法 5.叠乘法等

(n=1)⎧S1

()S-Sn≥2n-1⎩n

第三章：不等式

一.解一元二次不等式三部曲1.化不等式为标准式ax+bx+c>0或 ax+bx+c0)。

2.计算△的值，确定方程ax2+bx+c=0的根。

3.根据图象写出不等式的解集.

特别的：若二次项系数a为正且有两根时写解集用口决：(不等号)大于0取两边，小于0取中间

二.分式不等式的求解通法：

(1)标准化：①右边化零，②系数化正.

(2)转换：化为一元二次不等式(依据：两数的商与积同号)

f(x) 1>0⇔f(x)∙g(x)>0 g(x)

f(x) (2)≥0⇔f(x)∙g(x)≥0且g(x)≠0

g(x)

f(x)f(x)

(3≥a⇔-a≥0，再通分

g(x)g(x) 三.二元一次不等式Ax+By+C>0(A、B不同时为0)，确定其所表示的平面区域用口诀：同上异下 (注意：包含边界直线用实线，否则用虚线)

常用的解分式不等式的同解变形法则为

四.线性规划问题求解步骤：画(可行域)移(平行线)求(交点坐标，解，最值)答.

a+b

≥a≥0,b≥0)

(当且仅当a=b时，等号成立)五.基本不等式

：

旧知识回顾：1.求方程ax+bx+c=0的根方法：

(1)十字相乘法：左列分解二次项系数a，右列分解常数项c，交叉相乘再相加凑成一次项系数b。

(2)求根公式：x1，2

-b± =

0a≠0)的两根，则有x1+x2=-2.韦达定理：若x1,x2是方程ax+bx+c=(

3.对数类:logaM+logaN=logaMN logaM-logaN=logaN logaMN=NlogaM(M.>0,N>0)

,x1∙x2= aa

高二数学必修五知识点梳理

●解三角形

1. ?

2.解三角形中的基本策略：角边或边角。如，则三角形的形状?

3.三角形面积公式 ,如三角形的三边是 ,面积是?

4.求角的几种问题: ,求

△面积是 ,求 . ,求cosc

5.一些术语名词:仰角(俯角),方位角,视角分别是什么?

6.三角形的三个内角a,b,c成等差数列,则三角形的三边a,b,c成等差数列,则

三角形的三边a,b,c成等比数列,则 ,你会证明这三个结论么?

数列

★★1.一个重要的关系注意验证与等不等?如已知

2. 为等差

为等比

注:等比数列有一个非常重要的关系:所有的奇(偶)数项 .如{an}是等比数列,且

★★3.等差数列常用的性质:

①下标和相等的两项和相等,如是方程的两根,则

②在等差数列中, ……成等差数列,如在等差数列中,

③若一个项数为奇数的等差数列,则 , ------

4.数列的项问题一定是要研究该数列是怎么变化的?(数列的单调性)——研究的大小。

数列的(小)和问题，

如：等差数列中, ,则时的n= .等差数列中， ,则时的n=

5.数列求和的方法：

①公式法：等差数列的前5项和为15，后5项和为25，且 ★②分组求和法：

★③裂项求和法——两种情况的数列用:

★★④错位相减法——等差比数列(如 )——如何错位?相减要注意什么?最后不要忘记什么?

6.求通项的方法

①运用关系式 ★②累加(如 )

★③累乘(如

★★④构造新数列——如，a1=1，求an=?

(一定要会) ，求

●不等式

1.不等式你会解么? 你会解么?如果是写解集不要忘记写成集合形式!

2. 的解集是(1，3)，那么的解集是什么?

3.两类恒成立问题图象法—— 恒成立，则 =?

★★★★分离变量法—— 在[1，3]恒成立，则 =?(必考题)

4.线性规划问题

(1)可行域怎么作(一定要用直尺和铅笔)定界——定域——边界

(2)目标函数改写： (注意分析截距与z的关系)

(3)平行直线系去画

5.基本不等式的形式和变形形式

如a，b为正数，a，b满足，则ab的范围是

6.运用基本不等式求最值要注意：一正二定三相等!

如的最小值是的最小值 (不要忘记交代是什么时候取到=!!)

一个非常重要的函数——对勾函数的图象是什么?

运用对勾函数来处理下面问题的最小值是

7.★★两种题型：

和——倒数和(1的代换)，如x，y为正数，且，求的最小值?

和——积(直接用基本不等式)，如x，y为正数，，则的范围是?

不要忘记x ，xy，x2+y2这三者的关系!如x，y为正数，，则的范围是?

★★★★一类必考的题型——恒成立问题(处理方法是分离变量)

如对任意的x∈[1，2]恒成立，求a的范围? 在[1，3]恒成立，则 =?

(1)已知a，b为正常数，x、y为正实数，且，求x+y的最小值。

(2) 已知，且，求的值

例2.已知，(1)求的和最小值。(2)求的取值范围。

(3) 求的和最小值。

解析：注意目标函数是代表的几何意义.

解：作出可行域。

(1) ，作一组平行线l：，解方程组得解b(3，1)，。解得解c(7，9)，

(2) 表示可行域内的点(x,y)与(0，0)的连线的斜率。从图中可得，，又，。

(3) 表示可行域内的点(x,y)到(0，0)的距离的平方。从图中易得，，(of为o到直线ab的距离)，。，，，。

点拨：关键要明确每一目标函数的几何意义，从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的取值范围.

高一数学必修五综合练习

一、填空题：(每小题5分，共55分)

21.已知集合M{x2x2},N{x-x2x30},则集合MN;

2.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC = 7∶8∶9，则cosA=____ __;

已知数列，那么8是这个数列的第项;

4.若不等式x2axa0对一切实数x都成立，则实数a的范围为

5.设数列{an}的通项公式为an2n27，Sn是数列{an}的前n项和，则当n_______时，Sn取得值;

6.在ABC中，已知a4,b6,C120,则sinA的值是_________;

7.数列an中，a11，2an122an3，则通项an

8.ABC中，已知a4,B45，若解此三角形时有且只有解，则b的值应满足_____ ___;

9.已知点P(x,y)在经过两点A(3,0),B(1,1)的直线上，那么24的最小值是_ _;

10.已知数列bn是首项为4，公比为2的等比数列;又数列an满足a160,an1anbn，则数列xyan的通项公式an_______________;

11.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等

腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续.若共得到1023个正方形，

设起始正方形的边长为，则最小正方形的边长为 ; 2

二、解答题(每小题9分，共45分)

12.ABC中，已知a、b、c成等差数列，SinA、SinB、SinC成等比数列，试判断△ABC的形状.

213.某村计划建造一个室内面积为72m的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽

的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积，种植面积是多少?14.设数列{an}的前n项和为Sn2n2,{bn}为等比数列，且a1b1,b2(a2a1)b1.

⑴求数列{an}和{bn}的通项公式.⑵设cn

15.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x0的解集为(1，3).

⑴若方程f(x)6a0有两个相等实数根，求f(x)的解析式.

⑵若f(x)的值为正数，求a的取值范围.

216.在ABC中，设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知AC2B，并且sinAsinCcosB，an，求数列{cn}的前n项和Tn. bn

三角形的面积S

ABCa,b,c.1.(-1，2) 2.

9.22 3. 11 4. 0a1 5.13

6. 7.log2(3n

1) 8.b或b≥4

319n164 11.1 32

ac ①又∵sinA,sinB,sinC成等比数列， 2

ac222)ac，∴(ac)20， ∴sinBsinAsinC，∴bac ②将①代入②得：(2

∴ac代入①得bc,从而abc，∴△ABC是正△ 12.解：∵a,b,c成等差数列，∴b

13.解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab72，蔬菜的种植面积

s(a4)(b2)ab4b2a8802(a

2b)≤8032(m2)

当且仅当a2b,即a12,b6时，Smax32

14.解：⑴当n1时，a1S12;当n≥2时，anSnSn12n22(n1)24n2，故{an}的通项公式为an4n2，设{bn}的通项公式为q，则b12，q

⑵∵cn112，bnb1qn12n1，即bnn1 444an4n2(2n1)4n1，∴Tnc1c2cn[1341542(2n1)4n1] 2bn4n1

4Tn[14342542(2n3)4n1(2n1)4n] 两式相减得：

113Tn12(4142434n1)(2n1)4n[(6n5)4n5]∴Tn[(6n5)4n5] 39

015.解：⑴由f(x)2x解集为(1，3)，∴f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，因而

f(x)ax2(24a)x3a由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0，

因为方程②有两个相等的实根，∴0a1或111263，而a0，∴a∴f(x)xx 55555

2⑵由f(x)ax2(12a)x3a得,∴f(x)maxa0,a4a12

∴a4a1a2或a0a

2a0

216.解：∵AC2B∴B60，所以sinAsinCcos6011 ①

又SABCacsinB，得42

sinAsinCsinA21sinC2sinAsinC1ac16 ② ()()，所以

aca64cac8

asinBa2c2b218sinB8sin60cosB，由bsinA2ac2a2c2b2ac,(ac)2b23ac,(ac)24848

96,ac③

与②联立，得ac

，或ac

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