初中竞赛重要数学公式归纳思维导图

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2023-04-04

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初中竞赛数学公式

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初中的数学难度逐渐提升，很容易在这个阶段的数学当中犯难，要想学好初中数学，建立基本知识和运用归纳思维的能力是非常重要的，在本模板中，我们为大家整理了关于初中竞赛重要数学公式的归纳思维导图，这个导图中，学习了圆的标准方程、一般方程和参数方程，和圆的端点式、离心率和切线方程。我们还提到了代数中常用的公式，如完全平方公式、平方差公式、立方和(差)公式及二项式定理，我们还思考了这些公式的变形和逆运算，比如将(a+b)的n次幂展开成n个一次式相加，这些知识点都是初中竞赛中必不可少的，建议重点掌握并灵活运用。

思维导图大纲

2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4.故有：

(1)、当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以(√D^2+E^2-4F)/2为半径的圆;

(2)、当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点(-D/2，-E/2);

(3)、当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。

3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r_cosθ, y=b+r_sinθ, (其中θ为参数)

圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆 x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为 a0_x+b0_y=r^2

在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0_x+b0_y=r^2

初中数学竞赛重要定理公式

代数篇

【乘法公式】

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，

立方和(差)公式：(a±b)(a2 ?ab+b2)=a3±b3

多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)

(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5)

…………

在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …

+ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1

类似地：(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n

公式的变形及其逆运算

由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab

由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时

a n-

b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式(欧拉公式)

(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc

【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被

除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：

f(x)=g(x)q(x)-r(x)

其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。当r(x)=0时，就是f(x)能被g(x)整除。

【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。

【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。

【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。

【素数和合数】2是最小的素数，也是唯一的一个既是偶数又是素数的数.

小于100的素数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.

性质1 一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数.

性质2 如果n是合数，那么n的最小质因数一定满足a2≤n.

性质 3 质数有无穷多个.

性质4(算术基本定理)每一个大于 1 的自然数n，必能写成以下形式：这里的P1，P2，…，P r是质数，a1，a2，…，a r是自然数.如果不考虑P1，P2，…，

P r的次序，那么这种形式是唯一的.

性质 5 任何大于3的素数都可以表示为6k±1

【不定方程】

定理1.二元一次不定方程a x+by=c，

，

(1)若其中(a，b)c，则原方程无整数解;;

(2)若(a，b)=1，则原方程有整数解;

(3)若(a，b)|c，则可以在方程两边同时除以(a，b)从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为(2)的情形.

定理2：利用分解法求不定方程ax+by=cxy(abc≠0)整数解的基本思路：将ax+by=cxy转化为(x-a)(cy-b)=ab可分解.

【高斯函数】设x∈R，用[x]或int(x)表示不超过x的最大整数，并用{χ}表示x

的非负纯小数，则y=[x]称为高斯(Guass)函数，也叫取整函数。

任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{χ}(0≤{x}<1)

性质1:[x]≤x<[x]+1，x-1<[x] ≤x[n+x]=n+[x]，n为整数

2:厄尔米特恒等式：

对任x大于0，恒有[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+… …+[x+(n-1)/n]=[nx]。

【同余】定义 1 给定正整数m，若用m去除两个正整数a和b所得的余数相同，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为

a≡b(mod m)，

此时也称b是a对模m的同余。

否则称a与b对于模m不同余，或称a与b不同余，模m，记为a?b (mod m)。【完全平方数整除性】

(1)平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9;

(2)偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1;

(3)奇数平方的十位数字是偶数;

(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;

r a r

a p

n??=2

(5)不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0，1，4，7;

(6)平方数的约数的个数为奇数;

(7)任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

(8)设正整数a，b之积是一个正整数的k次方幂(k≥2)，若(a，b)=1，则a，b

都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a，b，c……之积是一个正整数的k次方幂(k≥2)，若a，b，c……两两互素，则a，b，c……都是正整数的k次方幂。【数的整除性】

(1)1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.

0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0.

(2)若一个整数的末位是0、2、4、6 或 8，则这个数能被2 整除。

(3)若一个整数的数字和能被3 整除，则这个整数能被3 整除。

(4)若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。

(5)若一个整数的末位是0 或 5，则这个数能被5 整除。

(6)若一个整数能被2 和 3 整除，则这个数能被6 整除。

(7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133 是否 7 的倍数的过程如下：13-3×2=7 ，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595，59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。

(8)若一个整数的未尾三位数能被8 整除，则这个数能被8 整除。

(9)若一个整数的数字和能被9 整除，则这个整数能被9 整除。

(10)若一个整数的末位是0，则这个数能被10 整除。

(11)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11 整除，则这个数能被 11 整除。

初中数学竞赛公式的整理

乘法与因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1_X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB - ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

1_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注： (a,b)是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注： D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c_h

斜棱柱侧面积 S=c'_h

正棱锥侧面积 S=1/2c_h'

正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l

球的表面积 S=4pi_r2

圆柱侧面积 S=c_h=2pi_h

圆锥侧面积 S=1/2_c_l=pi_r_l

弧长公式 l=a_r a是圆心角的弧度数r>0

扇形公式 s=1/2_l_r

锥体体积公式 V=1/3_S_H

圆锥体体积公式 V=1/3_pi_r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式 V=s_h

圆柱体 V=pi_r2h

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3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r_cosθ, y=b+r_sinθ, (其中θ为参数)

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