高中数学常用计算公式思维导图

上古男污神

2023-04-04

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高中数学计算公式

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高中数学常用计算公式思维导图是个非常有用的工具，因为数学中有很多重要的公式需要记忆和应用，我们整理出了高中数学中常用的计算公式，例如无穷递减比数列的求和公式、等比数列求和公式算法、和古典概率公式，当然，我们还介绍了一些与概率相关的公式和定理，例如条件概率、乘法公式和全概率公式，掌握这些公式和定理，不仅可以帮助学生更好的理解高中数学知识，也可以应用能力，为未来的考试打好基础。

思维导图大纲

无穷递降等比数列求和公式

无穷递减等比数列

a,aq,aq^2……aq^n

其中，n趋近于正无穷，q<1

注意：

(1)我们把|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存在，当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。

(2)S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn当n→∞的极限，即S=

S=a/(1-q)

等比数列求和公式算法

想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式

设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时

Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)

将这个式子两边同时乘以公比q，得

qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n

两式相减，得

(1-q)Sn=a1-a1q^n

所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式

S=a/(1-q)

古典概率公式整理

P(A)=A所含样本点数/总体所含样本点数

实用中经常采用"排列组合"的方法计算

附：由概率定义得出的几个性质：

1、0

2、P(Ω)=1，P(φ) =0[1]

概率的加法法则

定理：设A、B是互不相容事件(AB=φ)，则：

P(A∪B)=P(A)+P(B)

推论1：设A1、 A2、…、 An互不相容，则：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)

推论2：设A1、 A2、…、 An构成完备事件组，则：P(A1+A2+...+An)=1

推论3： P(A)=1-P(A')

推论4：若B包含A，则P(B-A)= P(B)-P(A)

推论5(广义加法公式)：

对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)[1]

条件概率

条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)

条件概率计算公式：

当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)

当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)[1]

乘法公式

P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)

推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)[1]

全概率公式

设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。

排列组合公式归纳

排列P------和顺序有关

组合C-------不牵涉到顺序的问题

排列分顺序，组合不分

例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列"

把5本书分给3个人，有几种分法"组合"

1.排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.

p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).

2.组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n，m)表示.

c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!_m!);c(n，m)=c(n，n-m);

3.其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为

n!/(n1!_n2!_..._nk!).

k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).

排列(Pnm(n为下标，m为上标))

Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n

组合(Cnm(n为下标，m为上标))

Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m

2008-07-0813：30

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘，如9!=9_8_7_6_5_4_3_2_1

从N倒数r个，表达式应该为n_(n-1)_(n-2)..(n-r+1);

因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r

举例：

Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数?

A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于"排列P"计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9_8_7个三位数。计算公式=P(3，9)=9_8_7，(从9倒数3个的乘积)

Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表"三国联盟"，可以组合成多少个"三国联盟"?

A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于"组合C"计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3，9)=9_8_7/3_2_1

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