高中数学必修四第一章知识点思维导图

没说出口的安慰

2023-04-04

浏览量: 2

高中数学必修四第一章知识点

高中

数学

必修四

知识点

高中数学必修四第一章是关于三角函数的内容，首先介绍了不同象限的角，和如何计算弧度和角度之间的换算公式和扇形相关的公式。介绍了正弦、余弦、正切三角函数的定义、基本关系和在各个象限上的符号，还有诱导公式和函数图象的变换方式，简单介绍了线性回归方程的定义，希望这些知识点能够为高中数学学习者提供帮助。

思维导图大纲

高一数学必修四知识点总结

第一章三角函数

正角:按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角.

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

第一象限角的集合为k360k36090,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是

l.r

180

6、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3.180

7、若扇形的圆心角为

为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，

Slrr2.

、设是一个任意大小的角，它与原点的距离是rr的终边上任意一点的坐标是x,y，则sin

0，

yxy

，cos，tanx0.rrx

9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，

第三象限正切为正，第四象限余弦为正.

10、三角函数线：sin，cos，tan.

2222

11、角三角函数的基本关系：1sin2cos21sin1cos,cos1sin;

sin

tancos

sin

sintancos,cos.tan

12、函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank.2sinsin，coscos，tantan.3sinsin，coscos，tantan.4sinsin，coscos，tantan.

口诀：函数名称不变，符号看象限.

5sin

cos，cossin.6sincos，cossin.2222

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.

13、①的图象上所有点向左(右)平移个单位长度，得到函数ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

倍(纵坐标不变)，得到函数ysinx的图象;再将

函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变)，得到函数

ysinx的图象.

②数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

倍(纵坐标不变)，得到函数

ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点向左(右)平移

个单位长度，得到函数

ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横

坐标不变)，得到函数ysinx的图象.14、函数ysinx0,0的性质：①振幅：;②周期：

;③频率：f

;④相位：x;⑤初相：.2

函数ysinx，当x-x1时，取得最小值为ymin;当x-x2时，取得值为ymax，则

x2x1x1x2ymaxyminymaxymin

22，，2.

yASinx,A0,0,T

15周期问题

yACosx,A0,0,T

yASinx,A0,0,T

yACosx,A0,0,T

yASinxb,A0,0,b0,T

yACosxb,A0,0,b0,T

TyAcotx,A0,0,

yAtanx,A0,0,T

yAcotx,A0,0,T

yAtanx,A0,0,T

高一数学必修四线性回归分析知识点

线性回归方程

设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点(xi,yi)(i=1,......,n)大致分布在一条直线的附近，则回归直线的方程为。

其中。

3.线性相关性检验

线性相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y与x之间线性相关与否的办法。

①在课本附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2(n为观测值组数)相应的相关系数临界值r0.05。

②由公式，计算r的值。

③检验所得结果

如果|r|≤r0.05，可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，接受统计假设。

如果|r|>r0.05，可以认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，即y与x之间具有线性相关关系。

典型例题讲解：

例1.从某班50名学生中随机抽取10名，测得其数学考试成绩与物理考试成绩资料如表：序号12345678910数学成绩54666876788285879094，物理成绩61806286847685828896试建立该10名学生的物理成绩对数学成绩的线性回归模型。

解：设数学成绩为x，物理成绩为，则可设所求线性回归模型为，

计算，代入公式得∴所求线性回归模型为=0.74x+22.28。

说明：将自变量x的值分别代入上述回归模型中，即可得到相应的因变量的估计值，由回归模型知：数学成绩每增加1分，物理成绩平均增加0.74分。大家可以在老师的帮助下对自己班的数学、化学成绩进行分析。

例2.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0

若由资料可知y对x成线性相关关系。试求：

(1)线性回归方程;(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少?

分析：本题为了降低难度，告诉了y与x间成线性相关关系，目的是训练公式的使用。

解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.049162536于是b=,。∴线性回归方程为：=bx+a=1.23x+0.08。

(2)当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38(万元)即估计使用10年时维修费用是12.38万元。

说明：本题若没有告诉我们y与x间是线性相关的，应首先进行相关性检验。如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的。

例3.某省七年的国民生产总值及社会商品零售总额如下表所示：已知国民生产总值与社会商品的零售总额之间存在线性关系，请建立回归模型。年份国民生产总值(亿元)

社会商品零售总额(亿元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合计4333.012194.24

解：设国民生产总值为x，社会商品零售总额为y,设线性回归模型为。

依上表计算有关数据后代入的表达式得：∴所求线性回归模型为y=0.445957x+37.4148,表明国民生产总值每增加1亿元，社会商品零售总额将平均增加4459.57万元。

例4.已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜每年平均产量yt之间的关系有如下数据：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份19931994199519961997199871999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1)求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关;

(2)若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量。

分析：(1)使用样本相关系数计算公式来完成;(2)查表得出显著水平0.05与自由度15-2相应的相关系数临界值r0.05比较，若r>r0.05，则线性相关，否则不线性相关。

解：(1)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i123456789101112131415xi707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0xiyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885,.故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数：r=由于n=15，故自由度15-2=13。由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值r0.05=0.514，则r>r0.05，从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系。

(2)设所求的回归直线方程为=bx+a，则∴回归直线方程为=0.0931x+0.7102。

当x=150时，y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。

说明：求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心谨慎计算，如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到，这些量，也就无需有制表这一步，直接算出结果就行了。另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理。